设fn(x)=x+x2+...+xn(n≥1). 证明：方程fn(x)=1有唯一的正根xn.

admin2019-09-23 92

问题设f_n(x)=x+x²+...+xⁿ(n≥1).
证明：方程f_n(x)=1有唯一的正根x_n.

选项

答案令Φ_n(x)=f_n(x)-1,因为Φ_n(0)=-1＜0，Φ_n(1)=n-1＞0，所以Φ_n(x)在（0,1）[*](0,+∞)内有一个零点，即方程f_n(x)=1在（0，+∞）内有一个根。因为Φ’_n(x)=1+2x+...+nx^n-1＞0,所以方程Φ_n(x)在（0，+∞）内单调增加，所以Φ_n(x)在（0，+∞）内的零点唯一，所以方程f_n(x)=1在（0，+∞）内有唯一正根，极为x_n.

解析

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