微分方程y"＋y’－2y＝(2x－1)ex＋xsinx的特解形式为( )．

admin2021-03-16 31

问题微分方程y"＋y’－2y＝(2x－1)e^x＋xsinx的特解形式为( )．

选项 A、(ax＋b)e^x＋(Ax＋B)cosx＋(Cx＋D)sinx
B、(ax²＋bx)e^x＋(Ax＋B)cosx＋(Cx＋D)sinx
C、(ax²＋bx)e^x＋(Ax²＋Bx)cosx＋(Cx²＋Dx)sinx
D、(ax＋b)e^x＋(Ax²＋B)cosx＋(Cx²＋D)sinx

答案B

解析特征方程为λ²＋λ－2＝0，特征值为λ₁＝1，λ₂＝－2，
y"＋y’－2y＝(2x－1)e^x＋x sinx可拆成
y"＋y’－2y＝(2x－1)e^x， (*)
y"＋y’－2y＝x sinx， (**)
(*)的特解形式为y₁＝x(ax＋b)e^x＝(ax²＋bx)e^x，
(**)的特解形式为y₂＝(Ax＋B)cosx＋(Cx＋D)sinx，
故原方程的特解形式为
y₀＝y₁＋y₂＝(ax²＋bx)e^x＋(Ax＋B)cosx＋(Cx＋D)sinx，
应选B

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