证明方程x5+x-1=0只有一个正根．

admin2020-03-03 48

问题证明方程x⁵+x-1=0只有一个正根．

选项

答案设f(x)=x⁵+x-1． (1)先证根的存在性因为f(x)在[0，1]上连续，而且f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，故由零点定理知，存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0． (2)再证根的唯一性因f’(x)=5x⁴+1＞0，即f(x)在(-∞，+∞)上单增，故f(x)=0最多有一根．综上，x³+x-1=0只有一个正根．

解析

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