设矩阵A＝仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P﹣1AP为对角矩阵．

admin2021-03-15 40

问题设矩阵A＝

仅有两个不同的特征值，若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使P^﹣1AP为对角矩阵．

选项

答案由|λE－A|＝[*]＝(λ－b)(λ－1)(λ－3)＝0，得特征值λ₁＝1，λ₂＝3，λ₃＝b．由题设矩阵A仅有两个不同特征值，故b＝1或b＝3． 1°若b＝1．因为A可相似对角化，所以r(A－E)＝1，故a＝1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ₁＝(1，－1，0)^T，ξ₂＝(0，0，1)^T． (A－3E)X＝0的基础解系为ξ₃＝(1，1，1)^T，取P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝[*]，则P^－1AP＝[*]. 2°若b＝3，因为A可相似对角化，所以r(A－3E)＝1，故a＝－1． (A－E)X＝0的基础解系为ξ₁＝(－1，1，1)^T， (A－3E)X＝0的基础解系为ξ₂＝(0，0，1)^T，ξ₃＝(1，1，0)^T，取P＝(ξ₁，ξ₂，ξ₃)＝[*]，则P^－1AP＝[*].

解析

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考研数学二

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