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设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P﹣1AP为对角矩阵.
设矩阵A=仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P﹣1AP为对角矩阵.
admin
2021-03-15
53
问题
设矩阵A=
仅有两个不同的特征值,若A相似于对角矩阵,求a,b的值,并求可逆矩阵P,使P
﹣1
AP为对角矩阵.
选项
答案
由|λE-A|=[*]=(λ-b)(λ-1)(λ-3)=0, 得特征值λ
1
=1,λ
2
=3,λ
3
=b. 由题设矩阵A仅有两个不同特征值,故b=1或b=3. 1°若b=1.因为A可相似对角化,所以r(A-E)=1,故a=1. (A-E)X=0的基础解系为ξ
1
=(1,-1,0)
T
,ξ
2
=(0,0,1)
T
. (A-3E)X=0的基础解系为ξ
3
=(1,1,1)
T
, 取P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则P
-1
AP=[*]. 2°若b=3,因为A可相似对角化,所以r(A-3E)=1,故a=-1. (A-E)X=0的基础解系为ξ
1
=(-1,1,1)
T
, (A-3E)X=0的基础解系为ξ
2
=(0,0,1)
T
,ξ
3
=(1,1,0)
T
, 取P=(ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
)=[*],则P
-1
AP=[*].
解析
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考研数学二
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