(2001年)设f(χ)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0， (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f〞(η)＝∫-aaf(χ)dχ

admin2019-08-01 94

问题 (2001年)设f(χ)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0，
(1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a³f〞(η)＝∫_-a^af(χ)dχ

选项

答案(1)对任意的χ∈[－a，a] f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋[*] 其中ξ在0与χ之间． (2)[*] 因为f〞(χ)在[－a，a]上连续，故对任意的χ∈[－a，a]，有m≤f〞(χ)≤M，其中M，m分别为f〞(χ)在[－a，a]上的最大，最小值，所以 [*] 因而由f〞(χ)的连续性知，至少存在一点η∈[－a，a]，使 [*] 即a³f〞(η)＝3∫_-a^af(χ)dχ

解析

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考研数学二

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(2001年)设f(χ)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0， (1)写出f(χ)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； (2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f〞(η)＝∫-aaf(χ)dχ

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