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二次函数f(χ)满足f(χ+1)-f(χ-1)=2χ,且f(0)=1. (1)求f(χ)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(χ)的图象恒在y=3χ+m的图象上方,求实数m的取值范围.
二次函数f(χ)满足f(χ+1)-f(χ-1)=2χ,且f(0)=1. (1)求f(χ)的解析式; (2)在区间[-1,1]上,y=f(χ)的图象恒在y=3χ+m的图象上方,求实数m的取值范围.
admin
2015-11-09
46
问题
二次函数f(χ)满足f(χ+1)-f(χ-1)=2χ,且f(0)=1.
(1)求f(χ)的解析式;
(2)在区间[-1,1]上,y=f(χ)的图象恒在y=3χ+m的图象上方,求实数m的取值范围.
选项
答案
(1)依题意设f(χ)=aχ
2
+bχ+1, 则f(χ+1)=a(χ+1)
2
+b(χ+1)+1,f(χ-1)=a(χ-1)
2
+b(-1)+1, 所以f(χ+1)-f(χ+1)=4aχ+2b=2χ, 则a=[*],b=0,即f(χ)=[*]χ
2
+1. (2)设h(χ)=[*] χ
2
-3χ-m+1,则h′(χ)=χ-3, 因为χ∈[-1,1],h′(χ)<0恒成立,即h(χ)在χ∈[-1,1]时为单调递减函数,故h(χ)
min
=h(1)=-[*]-m. 要想使y=f(χ)的图象恒在y=3χ+m的图象上方,则只需要h(χ)>0在[-1,1]内恒成立,即h(χ)
min
=-[*]-m>0,解得m<-[*].
解析
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