设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

admin2021-01-19 41

问题设D是由曲线y=

(0≤x≤1)与

(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

选项

答案D(如图所示)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=V₁－V₂。 [*] V₁为y=[*]与x=0，y=0所围的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，V₁=2／3π；V₂为曲线[*]与x=0，y=0所围的图形绕x轴旋转一周所得旋转的体积，即 V₂=x∫₀^π／2y²(t)|x’(t)|dt =3π∫₀^π／2sin⁷t．cos²tdt =3π∫₀^π／2sin⁷t(1－sin²t)dt =3π[∫₀^π／2sin⁷tdt－∫₀^π／2sin⁹tdt] [*] 所以V=V₁－V₂ [*] 表面积S=S₁+S₂，其中 S₁，S₂分别为两函数绕x轴的旋转体侧面积，S₁=2π； S₂=2π∫₀^π／2|y(t)|．[*]=6π∫₀^π／2sin⁴t．costdt=6／5π。所以S=2π+[*]π=16／5π。

解析

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考研数学二

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设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

考研数学二

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[*]

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