2. 考研
  3. 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

admin2021-01-19  59
问题 设D是由曲线y=(0≤x≤1)与(0≤t≤π／2)围成的平面区域，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。
选项
答案D(如图所示)绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=V1－V2。 [*] V1为y=[*]与x=0，y=0所围的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积，V1=2／3π；V2为曲线[*]与x=0，y=0所围的图形绕x轴旋转一周所得旋转的体积，即 V2=x∫0π／2y2(t)|x’(t)|dt =3π∫0π／2sin7t．cos2tdt =3π∫0π／2sin7t(1－sin2t)dt =3π[∫0π／2sin7tdt－∫0π／2sin9tdt] [*] 所以V=V1－V2 [*] 表面积S=S1+S2，其中 S1，S2分别为两函数绕x轴的旋转体侧面积，S1=2π； S2=2π∫0π／2|y(t)|．[*]=6π∫0π／2sin4t．costdt=6／5π。 所以S=2π+[*]π=16／5π。
解析
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考研数学二

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