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  3. 设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

admin2017-01-21  54
问题 设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。
选项
答案因为α1，α2线性无关，α1+b，α2+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k1，k2，使 k1（a1+b）+k2（a2+b）=0，则有（k1+k2）b=—k1a1—k2a2。 又因为a1，a2线性无关，若k1a1+k2a2=0，则k1=k2=0，这与k1，k2不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a2≠0，（k1+k2）b≠0。 综上k1+k2≠0，因此由（k1+k2）b=—ka1—k2a2得 [*]，k1，k2∈R，k1+k2≠0。
解析
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考研数学三

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