设向量组a1,a2线性无关,向量组a1+b,a2+b线性相关,证明:向量b能由向量组a1,a2线性表示。

admin2017-01-21  30

问题 设向量组a1,a2线性无关,向量组a1+b,a2+b线性相关,证明:向量b能由向量组a1,a2线性表示。

选项

答案因为α1,α2线性无关,α1+b,α2+b线性相关,所以b≠0,且存在不全为零的常数k1,k2,使 k1(a1+b)+k2(a2+b)=0,则有(k1+k2)b=—k1a1—k2a2。 又因为a1,a2线性无关,若k1a1+k2a2=0,则k1=k2=0,这与k1,k2不全为零矛盾,于是有 k1a1+k2a2≠0,(k1+k2)b≠0。 综上k1+k2≠0,因此由(k1+k2)b=—ka1—k2a2得 [*],k1,k2∈R,k1+k2≠0。

解析
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