设向量组a1，a2线性无关，向量组a1+b，a2+b线性相关，证明：向量b能由向量组a1，a2线性表示。

admin2017-01-21 49

问题设向量组a₁，a₂线性无关，向量组a₁+b，a₂+b线性相关，证明：向量b能由向量组a₁，a₂线性表示。

选项

答案因为α₁，α₂线性无关，α₁+b，α₂+b线性相关，所以b≠0，且存在不全为零的常数k₁，k₂，使 k₁（a₁+b）+k₂（a₂+b）=0，则有（k₁+k₂）b=—k₁a₁—k₂a₂。又因为a₁，a₂线性无关，若k₁a₁+k₂a₂=0，则k₁=k₂=0，这与k₁，k₂不全为零矛盾，于是有 k₁a₁+k₂a₂≠0，（k₁+k₂）b≠0。综上k₁+k₂≠0，因此由（k₁+k₂）b=—ka₁—k₂a₂得 [*]，k₁，k₂∈R，k₁+k₂≠0。

解析

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