2. 考研
  3. 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P－1AP； ③AT； ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中 ①A2； ②P－1AP； ③AT； ④E一A。 α肯定是其特征向量的矩阵个数为( )

admin2018-02-07  43
问题 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，那么在下列矩阵中
①A2；   
②P－1AP；   
③AT；   
④E一A。
α肯定是其特征向量的矩阵个数为(    )
选项 A、1。
B、2。
C、3。
D、4。
答案B
解析 由Aα=λα，α≠0，有A2α=A(λα)=λAα=λ2α，即α必是A2属于特征值λ2的特征向量。
又
知α必是矩阵E一A属于特征值1一λ的特征向量。
关于②和③则不一定成立。这是因为
(P－1AP)(P－1α)=P－1Aα=λP－1α，
按定义，矩阵P－1AP的特征向量是P－1α。因为P－1α与α不一定共线，因此α不一定是P－1AP的特征向量，即相似矩阵的特征向量是不一样的。
线性方程组(λE—A)x=0与(λE一AT)x=0不一定同解，所以α不一定是第二个方程组的解，即α不一定是AT的特征向量。所以应选B。
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考研数学二

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