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证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
证明:二次型f(x)=xTAx在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
admin
2017-12-29
105
问题
证明:二次型f(x)=x
T
Ax在||x||=1时的最大值为矩阵A的最大特征值。
选项
答案
A为实对称矩阵,则存在正交矩阵Q,使得 QAQ
—1
=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)=A, 其中λ
1
,λ
2
,…,λ
n
为A的特征值,不妨设A。最大。 作正交变换y=Qx,即x=Q
—1
y=Q
T
y,则 f=x
T
Ax=y
T
QAQ
T
y=y
T
Λy=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
2
y
n
2
, 因为y=Qx,所以当||x||=1时,有 ||x||
2
=x
T
x=y
T
QQ
T
y=||y||
2
=1, 即 y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
=1。 因此 f=λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
+…+λ
2
y
n
2
≤λ
1
(y
1
2
+y
2
2
+…+y
n
2
)=λ
1
。 又当y
1
=1,y
2
=y
3
=…=y
3
=0时,f=λ
1
,所以f
max
=λ
1
。
解析
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考研数学三
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