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设有曲面平面∏:2x+2y+z+5=0. (I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
设有曲面平面∏:2x+2y+z+5=0. (I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
admin
2020-03-05
17
问题
设有曲面
平面∏:2x+2y+z+5=0.
(I)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程; (Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离.
选项
答案
(I)先写出曲面S上任意点(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程. 记S的方程为F(x,y,z)=0,F(x,y,z)=[*],则S上点M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)处的切平面方程为 F
x
’(M
0
)(x一x
0
)+F
y
’(M
0
)(y一y
0
)+F
z
’(M
0
)(z—z
0
)=0, 其中F
x
’(M
0
)=x
0
, F
y
’(M
0
)=2y
0
, F
z
’(M
0
)=[*] 该切平面与平面∏平行,它们的法向量共线即成比例[*]且 2x
0
+2y
0
+z
0
+5≠0. 因为M
0
(x
0
,y
0
,z
0
)在S上,所以它满足方程 [*] 即4λ
2
=1.[*]显然,(x
0
,y
0
,z
0
)不在平面∏上. 相应的切平面方程是 [*] 这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程. (Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间,故曲面S上切点到平面∏的距离最短或最长 [*] 因此,曲面S到平面∏的最短距离为[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YMS4777K
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考研数学一
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