[2014年] 曲线L的极坐标方程为r=θ,则L在点(r,θ)=处切线的直角坐标方程为________.

admin2019-04-05  29

问题 [2014年]  曲线L的极坐标方程为r=θ,则L在点(r,θ)=处切线的直角坐标方程为________.

选项

答案可用两种方法求之:一种方法是将曲线的极坐标方程及点的极坐标化为直角坐标方程、直角坐标,再写出所求的切线的直角坐标方程.另一种方法是利用曲线L的极坐标方程(参数方程)求出切线的斜率及点的直角坐标,再写出所求方程. 解一 极坐标方程r=θ,利用x=r cosθ,y=r sinθ易求得r=[*],tanθ=[*],即θ=arctan[*],因而得到[*],两边对x求导,得到 [*] ① 令r=[*].θ=[*],得到x=0,y=[*],即(x,y)=(0,[*]),将其代入式①得到y′(0,π/2)=-[*] 从而所求的切线直角坐标方程为y一[*](x一0),即y=一[*] 解二 L的参数方程为x=rcosθ=θcosv,y=rsinθ=θsinθ,点(r,θ)=[*]记为P0,则P0的直角坐标为(x0,y0)=(0,[*]),L在点P0处的斜率为 [*] 故L在P0点处的切线的直角坐标方程为y=一[*].

解析
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