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设有参数方程0≤t≤π. (Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(χ),并求定义域; (Ⅱ)讨论y=y(χ)的可导性与单调性; (Ⅲ)讨论y=y(χ)的凹凸性.
设有参数方程0≤t≤π. (Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(χ),并求定义域; (Ⅱ)讨论y=y(χ)的可导性与单调性; (Ⅲ)讨论y=y(χ)的凹凸性.
admin
2017-07-10
68
问题
设有参数方程
0≤t≤π.
(Ⅰ)求证该参数方程确定y=y(χ),并求定义域;
(Ⅱ)讨论y=y(χ)的可导性与单调性;
(Ⅲ)讨论y=y(χ)的凹凸性.
选项
答案
(Ⅰ)[*]=3cos
2
t(-sint)≤0,(t∈[0,π]),仅当t=0,[*],π时为零,因而得χ是t的单调(减)函数.[*]反函数t=t(χ)[*]y=sin
3
t(χ)=y(χ),χ∈[-1.1]. (Ⅱ)记[*]0≤t≤π. 当t≠0,[*],π时[*]反函数t=t(χ)可导,得y=y(χ)可导,则 [*] 注意y=y(χ)在[-1,1]连续,t与χ的对应关系:[*] [*] 得0≤χ≤1时y(χ)单调下降,-1≤χ≤0时y(χ)单调上升. [*] 因此y(χ)在[-1,0],[0,1]均是凹的.y=y(χ)的图形如图4.2. [*]
解析
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考研数学二
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