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(2002年试题,九)设0
(2002年试题,九)设0
admin
2019-03-21
73
问题
(2002年试题,九)设0
选项
答案
题设所给待证不等式有两部分,应分别予以证明,先证明右边不等式[*]引入辅助函数[*]则[*]由于已知0
’(x)>0,从而f(x)严格单调递增,又f(a)=0,从而f(x)>f(x)=0,令x=b,得f(b)>0,即[*]即[*]即[*]由此右边不等式得证.关于左边不等式,[*]同样可引入辅助函数f(x)=(a
2
+x
2
)(1nx—lna)一2a(x一a),其中0
f(a)=0,令x=b,则f(b)>0,即(a
2
+b
2
)(1n6一lnb)一2a(b一a)>0,即(a
2
+b
2
)(1n6一lna)>2a(b一a),所以[*]左边不等式亦得证。
解析
关于左边不等式
的证明,还可采用以下方法:设f(x)=lnx,x∈[a,b],由拉格朗日中值定理知存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=lnb—lna=f
’
(ξ)(b—a)
已知0
所以
即
不等式的证明常用方法有:微分中值定理、极值、最值、单调性及泰勒公式和函数的凸凹性.
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