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设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1)=1/3,P{Y=1}=2/3,记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z).
设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1)=1/3,P{Y=1}=2/3,记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z).
admin
2022-05-20
55
问题
设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1)=1/3,P{Y=1}=2/3,记Z=XY·
求Z的概率密度f
z
(z).
选项
答案
先求Z的分布函数F
Z
(z).由于 F
Z
(z)=P{XY≤z)=P{XY≤z,Y=-1}+P{XY≤z,Y=1} =P{X≥-z,Y=-1}+P{X≤z,Y=1} =P{X≥-z}P{Y=-1}+P{X≤z)P{Y=1} =1/3[1-F
X
(-z)]+2/3F
X
(z), 其中F
X
(x)是X的分布函数,故 f
Z
(z)=F’
Z
(z)=1/3f
X
(-z)+2/3f
X
(z). 由题知 [*] 当z≤0时,-z≥0,f
x
(-z)=λe
λz
,f
X
(z)=0. 当z>0时,-z<0,f
X
(z)=λe
-λz
,f
X
(-z)=0. 综上可得 [*]
解析
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考研数学三
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