设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1)=1/3,P{Y=1}=2/3,记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z).

admin2022-05-20  40

问题 设随机变量X与Y相互独立,X服从参数为λ(λ>0)的指数分布,Y的概率分布为P{Y=-1)=1/3,P{Y=1}=2/3,记Z=XY·
求Z的概率密度fz(z).

选项

答案先求Z的分布函数FZ(z).由于 FZ(z)=P{XY≤z)=P{XY≤z,Y=-1}+P{XY≤z,Y=1} =P{X≥-z,Y=-1}+P{X≤z,Y=1} =P{X≥-z}P{Y=-1}+P{X≤z)P{Y=1} =1/3[1-FX(-z)]+2/3FX(z), 其中FX(x)是X的分布函数,故 fZ(z)=F’Z(z)=1/3fX(-z)+2/3fX(z). 由题知 [*] 当z≤0时,-z≥0,fx(-z)=λeλz,fX(z)=0. 当z>0时,-z<0,fX(z)=λe-λz,fX(-z)=0. 综上可得 [*]

解析
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