设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY· 求Z的概率密度fz(z)．

admin2022-05-20 56

问题设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1)=1／3，P{Y=1}=2／3，记Z=XY·
求Z的概率密度f_z(z)．

选项

答案先求Z的分布函数F_Z(z)．由于 F_Z(z)=P{XY≤z)=P{XY≤z，Y=-1}+P{XY≤z，Y=1} =P{X≥-z，Y=-1}+P{X≤z，Y=1} =P{X≥-z}P{Y=-1}+P{X≤z)P{Y=1} =1/3[1-F_X(-z)]+2/3F_X(z)，其中F_X(x)是X的分布函数，故 f_Z(z)=F’_Z(z)=1/3f_X(-z)+2/3f_X(z)．由题知 [*] 当z≤0时，-z≥0，f_x(-z)=λe^λz，f_X(z)=0．当z＞0时，-z＜0，f_X(z)=λe^-λz，f_X(-z)=0．综上可得 [*]

解析

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考研数学三

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