2. 考研
  3. 设f(x)可导，且有f’(x)+xf’(x一1)=4，又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x，求f(x)．

设f(x)可导，且有f’(x)+xf’(x一1)=4，又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x，求f(x)．

admin2017-07-26  32
问题 设f(x)可导，且有f’(x)+xf’(x一1)=4，又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x，求f(x)．
选项
答案因为∫01f(xt)dt[*]∫0xf(u)du，由题设有 ∫0xf(u)du+x∫0xf(t一1)dt=x4+x3+2x2． 两边对x求导得 f(x)+∫0xf(t一1)dt+xf(x一1)=4x3+3x2+4x． 两边对x再求导得 f’(x)+f(x一1)+f(x一1)+xf’(x一1)=12x2+6x+4． 由f’(x)+xf’(x一1)=4，得f(x一1)=6x2+3x．所以， f(x)=6(x+1)2+3(x+1)=6x2+15x+9．
解析
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考研数学三

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