设f(x)可导,且有f’(x)+xf’(x一1)=4,又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x,求f(x).

admin2017-07-26  28

问题 设f(x)可导,且有f’(x)+xf’(x一1)=4,又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x,求f(x).

选项

答案因为∫01f(xt)dt[*]∫0xf(u)du,由题设有 ∫0xf(u)du+x∫0xf(t一1)dt=x4+x3+2x2. 两边对x求导得 f(x)+∫0xf(t一1)dt+xf(x一1)=4x3+3x2+4x. 两边对x再求导得 f’(x)+f(x一1)+f(x一1)+xf’(x一1)=12x2+6x+4. 由f’(x)+xf’(x一1)=4,得f(x一1)=6x2+3x.所以, f(x)=6(x+1)2+3(x+1)=6x2+15x+9.

解析
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