设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫02f(t)dt=f(2)+f(3)，证明：存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)=0．

admin2021-10-18 109

问题设f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内二阶可导，且2f(0)=∫₀²f(t)dt=f(2)+f(3)，证明：
存在ξ∈(0，3)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)=0．

选项

答案令φ(x)=e^-2xf’(x)，φ(ξ₁)=φ(ξ₂)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)∈(0，3)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e^-2x[f"(x)-2f’(x)]且e^-2x≠0，故f"(ξ)-2f’(ξ)=0．

解析

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考研数学二

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