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(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件); (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件,举例说明此充分条件并非必要条件.
(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件); (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件,举例说明此充分条件并非必要条件.
admin
2020-07-03
62
问题
(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件);
(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件,举例说明此充分条件并非必要条件.
选项
答案
(Ⅰ)费马定理:设f(x)在x=x
0
处可导,并且f(x
0
)为f(x)的极值,则必有f′(x
0
)=0. 证明:设f(x)在x=x
0
处可导,故存在x=x
0
的某邻域U(x
0
),f(x)在U(x
0
)内有定义. 又设f(x
0
)为f(x)的极值(不妨认为f(x
0
)为f(x)的极大值),故知又存在x=x
0
的一个去心邻域 [*]U(x
0
),有 f(x)<f(x
0
),x∈[*](x
0
). 从而 [*] 令x→x
0
取极限,因f(x)在x=x
0
处可导,即 [*]=f′(x
0
) (存在). 所以 [*] [*] 由于f′(x
0
)存在,f′(x
0
)=f′
+
(x
0
),所以f′(x
0
)=0,证毕. (Ⅱ)第一充分条件:设f(x)在点x
0
处连续,在[*](x
0
)内可导. (1)若在x
0
的左侧邻域内f′(x)>0,右侧邻域内f′(x)<0,则f(x
0
)为极大值. (2)若在x
0
的左侧邻域内f′(x)<0,右侧邻域内f′(x)>0,则f(x
0
)为极小值. 证明:只证(1)情形,(2)情形是类似的.设x∈[*](x
0
)且x<x
0
,由拉格朗日中值定理, f(x)-f(x
0
)=f′(ξ
1
)(x-x
0
)<0,x<ξ
1
<x
0
. 若x∈[*](x
0
)且x>x
0
,则有 f(x) -f(x
0
)=f′(ξ
2
)(x-x
0
)<0,x>ξ
2
>x
0
. 所以当x∈[*](x
0
)时,有f(x)-f(x
0
)<0,从而知f(x
0
)为f(x)的一个极大值. 举例说明定理的条件是充分而非必要的. 例:取 [*] 易见,存在x=0的去心邻域[*]6(0)时,f(x)≥f(0),故x=0是f(x)的极小值点.但当x≠0时, f′(x)=2x(1+sin[*] 无论取[*](0)多么小,当x→0时,f′(x)的第一项趋于0,而第二项cos[*]在-1与1之间振荡,所以f′(x)并不保持确定的符号,并不满足充分条件,f(0)仍可以是极值.
解析
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考研数学二
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