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  3. (Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件)； (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件，举例说明此充分条件并非必要条件．

(Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件)； (Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件，举例说明此充分条件并非必要条件．

admin2020-07-03  75
问题 (Ⅰ)叙述并证明费马(Fermat)定理(即可导函数存在极值点的必要条件)；
(Ⅱ)叙述并证明极值的第一充分条件，举例说明此充分条件并非必要条件．
选项
答案(Ⅰ)费马定理：设f(x)在x=x0处可导，并且f(x0)为f(x)的极值，则必有f′(x0)=0． 证明：设f(x)在x=x0处可导，故存在x=x0的某邻域U(x0)，f(x)在U(x0)内有定义． 又设f(x0)为f(x)的极值(不妨认为f(x0)为f(x)的极大值)，故知又存在x=x0的一个去心邻域 [*]U(x0)，有 f(x)＜f(x0)，x∈[*](x0)． 从而 [*] 令x→x0取极限，因f(x)在x=x0处可导，即 [*]=f′(x0) (存在)． 所以 [*] [*] 由于f′(x0)存在，f′(x0)=f′+(x0)，所以f′(x0)=0，证毕． (Ⅱ)第一充分条件：设f(x)在点x0处连续，在[*](x0)内可导． (1)若在x0的左侧邻域内f′(x)＞0，右侧邻域内f′(x)＜0，则f(x0)为极大值． (2)若在x0的左侧邻域内f′(x)＜0，右侧邻域内f′(x)＞0，则f(x0)为极小值． 证明：只证(1)情形，(2)情形是类似的．设x∈[*](x0)且x＜x0，由拉格朗日中值定理， f(x)－f(x0)=f′(ξ1)(x－x0)＜0，x＜ξ1＜x0． 若x∈[*](x0)且x＞x0，则有 f(x) －f(x0)=f′(ξ2)(x－x0)＜0，x＞ξ2＞x0． 所以当x∈[*](x0)时，有f(x)－f(x0)＜0，从而知f(x0)为f(x)的一个极大值． 举例说明定理的条件是充分而非必要的． 例：取 [*] 易见，存在x=0的去心邻域[*]6(0)时，f(x)≥f(0)，故x=0是f(x)的极小值点．但当x≠0时， f′(x)=2x(1+sin[*] 无论取[*](0)多么小，当x→0时，f′(x)的第一项趋于0，而第二项cos[*]在－1与1之间振荡，所以f′(x)并不保持确定的符号，并不满足充分条件，f(0)仍可以是极值．
解析
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考研数学二

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