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  3. [2004年] 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)等于( )．

[2004年] 设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)等于( )．

admin2021-01-15  15
问题 [2004年]  设f(x)为连续函数，F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx，则F’(2)等于(    )．
选项 A、2f(2)
B、f(2)
C、一f(2)
D、0
答案B
解析 由于二次积分的内层积分与求导变量t有关，故不能直接对其求导．应先交换积分次序，然后再求导．由原二次积分易求得其积分区域如图所示，即

D={(x，y)｜1≤y≤t，y≤x≤t}={(x，y)｜1≤x≤t，1≤y≤x}．
交换积分次序，得到
F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy
=∫1tf(x)dx∫1xdy
=∫1t(x一1)f(x)dx，
因而F’(t)=f(t)(t一1)．于是F’(2)=f(2)．仅B入选．
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考研数学一

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