设f是定义在R上的函数，且对任何x1，x2∈R．都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)．若f’(0)=1．证明对任何x∈R，都有f’(x)=f(x)．

admin2022-10-31 37

问题设f是定义在R上的函数，且对任何x₁，x₂∈R．都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)．若f’(0)=1．证明对任何x∈R，都有f’(x)=f(x)．

选项

答案由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)得f(x)=f(x+0)=f(x)·f(0)，即f(x)[1-f(0)]=0．于是或者f(0)=1或者f(x)=0．若f(x)≡0．则f’(x)≡0．这与题设f’(0)=1矛盾．所以f(0)=1． [*]

解析

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