2. 考研
  3. 设f是定义在R上的函数，且对任何x1，x2∈R．都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)．若f’(0)=1．证明对任何x∈R，都有f’(x)=f(x)．

设f是定义在R上的函数，且对任何x1，x2∈R．都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)．若f’(0)=1．证明对任何x∈R，都有f’(x)=f(x)．

admin2022-10-31  5
问题 设f是定义在R上的函数，且对任何x1，x2∈R．都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)．若f’(0)=1．证明对任何x∈R，都有f’(x)=f(x)．
选项
答案由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)得f(x)=f(x+0)=f(x)·f(0)，即f(x)[1-f(0)]=0．于是或者f(0)=1或者f(x)=0．若f(x)≡0．则f’(x)≡0．这与题设f’(0)=1矛盾．所以f(0)=1． [*]
解析
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考研数学一

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