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(2009年试题,21)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a);(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ(δ>0)内可导,且,则f’+
(2009年试题,21)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a);(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ(δ>0)内可导,且,则f’+
admin
2021-01-19
29
问题
(2009年试题,21)(I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f
’
(ξ)(b一a);(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ(δ>0)内可导,且
,则f
’
+(0)存在,且f
’
+(0)=A.
选项
答案
(I)作辅助函数[*]可验证φ(x)满足:φ(a)=φ(b)=0;φ(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导.由罗尔定理可知,在(a,b)内至少有一点ξ,使φ
’
(ξ)=0,即φ
’
(ξ)=f
’
(ξ)[*]亦即f(b)一f(a)=f
’
(ξ)(b一a),命题得证.(Ⅱ)任取x
0
∈(0,δ),则函数f(x)在闭区间[0,x
0
]上连续,在开区间(0,x
0
)内可导,从而根据拉格朗日中值定理可知,存在ξ∈(0,x
0
)c(0,δ),使得f
’
(ξ)=[*]又由于[*],因此对上式两边取x
0
→0
+
时的极限可得[*]由此可知[*]存在,且[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Yr84777K
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考研数学二
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