2. 考研
  3. (2009年试题，21)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ(δ>0)内可导，且，则f’+

(2009年试题，21)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ(δ>0)内可导，且，则f’+

admin2021-01-19  40
问题 (2009年试题，21)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b一a)；(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ(δ>0)内可导，且，则f’+(0)存在，且f’+(0)=A．
选项
答案(I)作辅助函数[*]可验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)=0；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导．由罗尔定理可知，在(a，b)内至少有一点ξ，使φ’(ξ)=0，即φ’(ξ)=f’(ξ)[*]亦即f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)，命题得证．(Ⅱ)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)在闭区间[0，x0]上连续，在开区间(0，x0)内可导，从而根据拉格朗日中值定理可知，存在ξ∈(0，x0)c(0，δ)，使得f’(ξ)=[*]又由于[*]，因此对上式两边取x0→0+时的极限可得[*]由此可知[*]存在，且[*]
解析
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考研数学二

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