设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

admin2017-04-23 26

问题设A、B为同阶实对称矩阵，A的特征值全大于a，B的特征值全大于b，a、b为常数，证明：矩阵A+B的特征值全大于a+b．

选项

答案设λ为A+B的任一特征值，则有X≠0，使(A+B)X=λX[*](A+B)X一(a+b)X=λX一(a+b)X[*][(A 一 aE)+(B一 bE)]X=[λ一(a+b)]X，故λ一(a+b)为(A一aE)+(B一bE)的特征值，由条件易知A一aE及B一bE均正定，故(A一aE)+(B一bE)正定，因而它的特征值λ一(a+b)＞0，[*]λ＞a+b，即A+B的任一特征值A都大于a+b．设s为A+B的最小特征值，对应的特征向量为X₁，设A、B的最小特征值分别为λ₁和μ₁，有s=[*]≥λ₁+μ₁＞a+b．故A+B的特征值全大于a+b．

解析

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