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设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0.证明:存在ξ∈(a1,an),使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ).
设a1<a2<…<an,且函数f(x)在[a1,an]上n阶可导,c∈[a1,an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0.证明:存在ξ∈(a1,an),使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ).
admin
2022-10-09
50
问题
设a
1
<a
2
<…<a
n
,且函数f(x)在[a
1
,a
n
]上n阶可导,c∈[a
1
,a
n
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0.证明:存在ξ∈(a
1
,a
n
),使得f(c)=(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
)/n!f
(n)
(ξ).
选项
答案
当c=a
i
(i=1,2,…,n)时,对任意的ξ∈(a
1
,a
n
),结论成立;设c为异于a
1
,a
2
,…,a
n
的数,不妨设a
1
<a
2
<…<a
n
.令k=f(c)/(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
),构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a
1
)(x-a
2
)…(x-a
n
),显然φ(x)在[a
1
,a
n
]上n阶可导,且φ(a
1
)=φ(c)=φ(a
2
)=…=φ(a
n
)=0,由罗尔定理,存在ξ
1
(1)
∈(a
1
,c),ξ
2
(1)
∈(c,a
2
),…,ξ
n
(1)
∈(a
n-1
,a
n
),使得φ’(ξ
1
(1)
)=φ’(ξ
2
(1)
)=…=φ’(ξ
n
(1)
)=0,φ’(x)在(a
1
,a
n
)内至少有n个不同零点,重复使用罗尔定理,则φ
(n-1)
(x)在(a
1
,a
n
)内至少有两个不同零点,设为c
1
,c
2
∈(a
1
,a
n
),使得φ
(n-1)
(c
1
)=φ
(n-1)
(c
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(c
1
,c
2
)∈(a
1
,a
n
),使得φ
(n)
(ξ)=0.而φ
(n)
(x)=f
(n)
(x)-n!k,所以f
(n)
(x)=n!k,从而有f(x)=(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
)/n!f
(n)
(ξ).
解析
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考研数学三
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