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设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．
设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，an]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)=f(a2)=…=f(an)=0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得f(c)=(c-a1)(c-a2)…(c-an)/n!f(n)(ξ)．
admin
2022-10-09
53
问题
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
n
]且f(a
1
)=f(a
2
)=…=f(a
n
)=0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得f(c)=(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
)/n!f
(n)
(ξ)．
选项
答案
当c=a
i
(i=1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a
1
，a
n
)，结论成立；设c为异于a
1
，a
2
，…，a
n
的数，不妨设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
．令k=f(c)/(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
)，构造辅助函数φ(x)=f(x)-k(x-a
1
)(x-a
2
)…(x-a
n
)，显然φ(x)在[a
1
，a
n
]上n阶可导，且φ(a
1
)=φ(c)=φ(a
2
)=…=φ(a
n
)=0，由罗尔定理，存在ξ
1
(1)
∈(a
1
，c)，ξ
2
(1)
∈(c，a
2
)，…，ξ
n
(1)
∈(a
n-1
，a
n
)，使得φ’(ξ
1
(1)
)=φ’(ξ
2
(1)
)=…=φ’(ξ
n
(1)
)=0，φ’(x)在(a
1
，a
n
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则φ
(n-1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
，a
n
)，使得φ
(n-1)
(c
1
)=φ
(n-1)
(c
2
)=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(c
1
，c
2
)∈(a
1
，a
n
)，使得φ
(n)
(ξ)=0．而φ
(n)
(x)=f
(n)
(x)-n!k，所以f
(n)
(x)=n!k，从而有f(x)=(c-a
1
)(c-a
2
)…(c-a
n
)/n!f
(n)
(ξ)．
解析
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考研数学三
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