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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使f’(ξ)=0.
admin
2013-09-15
36
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1,试证必存在ξ∈(0,3),使f
’
(ξ)=0.
选项
答案
由题设,f(x)在[0,3]上连续,则f(x)在[0,2]上也必然连续,则在[0,2] 上f(x)必有最大值M和最小值m,因而m≤f(0)≤M,m≤f(2)≤M,从 而[*] 由连续函数的介值定理,知存在一点η∈[0,2],使[*] 由已知条件f(0)+f(2)=3,可推知f(η)=1,因此f(η)=f(3)=1,η∈[0,2]. 由罗尔定理,知存在ξ∈(η,3)[*][0,3),使f
’
(ξ)=0.证毕.
解析
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考研数学二
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