2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．

admin2013-09-15  107
问题 设函数f(x)在[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，试证必存在ξ∈(0，3)，使f’(ξ)=0．
选项
答案由题设，f(x)在[0，3]上连续，则f(x)在[0，2]上也必然连续，则在[0，2] 上f(x)必有最大值M和最小值m，因而m≤f(0)≤M，m≤f(2)≤M，从 而[*] 由连续函数的介值定理，知存在一点η∈[0，2]，使[*] 由已知条件f(0)+f(2)=3，可推知f(η)=1，因此f(η)=f(3)=1，η∈[0，2]． 由罗尔定理，知存在ξ∈(η，3)[*][0，3)，使f’(ξ)=0．证毕．
解析
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考研数学二

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