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  3. 设A为n阶矩阵(n≥2)，A为A*的伴随矩阵，证明

设A为n阶矩阵(n≥2)，A为A*的伴随矩阵，证明

admin2017-07-10  23
问题 设A为n阶矩阵(n≥2)，A为A*的伴随矩阵，证明
选项
答案(1)当r(A)=n时，｜A｜≠0，则有｜A*｜=｜A｜n-1≠0．从而A*可逆，即r(A*)=n． (2)当r(A)=n一1时，由矩阵秩的定义知，A中至少有一个n一1阶子式不为零，即A*中至少有一个元素不为零，故r(A*)≥1．又因r(A)=n一1时，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知，AA*=O．因此根据矩阵秩的性质得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n一1代入上式，得r(A*)≤1．综上所述，有r(A*)=1． (3)当r(A)≤n一2时，A的所有n一1阶子式都为零，也就是A*的任一元素均为零，即A*=O，从而r(A*)=0．
解析
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考研数学二

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