(2004年试题，三)计算曲面积分其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧．

admin2013-12-27 31

问题 (2004年试题，三)计算曲面积分

其中∑是曲面z=1一x²一y²(z≥0)的上侧．

选项

答案由题设，积分曲面∑并不封闭，则取∑₁为xOy平面上被圆x²+y²=1所围部分的下侧，并记Ω为由∑与∑₁共同围成的空间闭区域，则[*]由高斯公式知[*]从而[*]

解析直接将第二类曲面积分化为二重积分，已知-s的方程为z=1—x²一y²(z≥0)，则它在xOy面上的投影区域为D_xy：x²+y²≤1，且z_x^’=一2x，z_x^’=一2y，于是得

又根据对称性知

则由极坐标变换得，

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