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(2004年试题,三)计算曲面积分其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.
(2004年试题,三)计算曲面积分其中∑是曲面z=1一x2一y2(z≥0)的上侧.
admin
2013-12-27
63
问题
(2004年试题,三)计算曲面积分
其中∑是曲面z=1一x
2
一y
2
(z≥0)的上侧.
选项
答案
由题设,积分曲面∑并不封闭,则取∑
1
为xOy平面上被圆x
2
+y
2
=1所围部分的下侧,并记Ω为由∑与∑
1
共同围成的空间闭区域,则[*]由高斯公式知[*]从而[*]
解析
直接将第二类曲面积分化为二重积分,已知-s的方程为z=1—x
2
一y
2
(z≥0),则它在xOy面上的投影区域为D
xy
:x
2
+y
2
≤1,且z
x
’
=一2x,z
x
’
=一2y,于是得
又根据对称性知
则由极坐标变换得,
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考研数学一
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