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  3. λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

admin2021-02-25  42
问题 λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．
选项
答案原方程组系数矩阵的行列式为 [*] 故当λ≠1且λ≠-4/5时，方程组有唯一解． 当λ=1时，原方程组为 [*] 对其增广矩阵施以初等行变换，有 [*] 因此，当λ=1时，原方程组有无穷多解，其通解为 x=(1，-1，0)T+k(0，1，1)T， 其中k为任意常数． 当λ=-4/5时，原方程组的同解方程组为 [*] 对其增广矩阵施以初等行变换，有 [*] 由此可知当λ=-4/5时，原方程组无解． 本题也可对原方程组的增广矩阵施以初等行变换得 [*] 讨论：①当λ=-4/5时，r(A)=2≠r(B)=3．故原方程组无解； ②当λ≠1，且λ≠-4/5时，r(A)=r(B)=3，原方程组有唯一解； ③当λ=1时，有 [*] 显然，r(A)=r(B)=2＜3，原方程组有无穷多解，其通解为x=k(0，1，1)T+(1，-1，0)T，其中k为任意常数．
解析 本题主要考查非齐次线性方程组有解的判定及解的求法．将方程组写成矩阵的形式Ax=b．当｜A｜≠0时，Ax=b有唯一解；当｜A｜=0时，方程组Ax=b有无穷多解还是无解要看增广矩阵的秩是否等于系数矩阵的秩．
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考研数学二

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