∫－π／2π／2(x3+sin2x)cos2xdx=_______。

admin2018-04-14 54

问题 ∫_－π／2^π／2(x³+sin²x)cos²xdx=_______。

选项

答案π／8

解析由题设知
∫_－π／2^π／2(x³+sin²x)cos²xdx
=∫_－π／2^π／2x³cos²xdx+∫_－π／2^π／2sin²xcos²xdx。
在区间[－π／2，π／2]上，x³cos²x是奇函数，sin²xcos²x是偶函数，故
∫_－π／2^π／2x³cos²xdx=0，∫_－π／2^π／2sin²xcos²xdx=2∫₀^π／2sin²xcos²xdx．
所以，原式=∫_－π／2^π／2x³cos²xdx+∫_－π／2^π／2sin²xcos²xdx=2∫₀^π／2sin²xcos²xdx
=∫₀^π／2sin1／2²2xdx=1／4∫₀^π／2(1－cos4x)dx

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