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  3. [2016年] 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x-y，且f(0，y)=y+1，Lt是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分，并求I(t)的最小值．[img][/img]

[2016年] 设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x-y，且f(0，y)=y+1，Lt是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分，并求I(t)的最小值．[img][/img]

admin2019-05-16  29
问题 [2016年]  设函数f(x，y)满足=(2x+1)e2x-y，且f(0，y)=y+1，Lt是从点(0，0)到点(1，t)的光滑曲线，计算曲线积分，并求I(t)的最小值．[img][/img]
选项
答案在[*]=(2x+1)e2x-y两边对x积分，得到 f(x，y)=∫(2x+1)e2x-ydx=[*]=xe2x-y+φ(y)． 又因f(0，y)=φ(y)=y+1，故f(x，y)=xe2x-y+y+1，从而[*]=一xe2x-y+1，故 I(t)=∫Lt(2x+1)e2x-ydx+(1-xe2x-y)dy=∫LtP(x，y)dx+Q(x，y)dy. 因[*]，故曲线积分与路径无关．因而可选x轴上的直线段[0，1](y=0)与平行于y轴的直线段[0，t](x=1)为积分路径，得到 I(t)=∫01(2x+1)e2xdx(y=0)+∫0t(1一e2x-y)dy(x=1) =∫01xde2x+∫01e2xdx+∫0tdy+e2∫0te-yd(一y) =xe2x｜01—∫01e2xdx+∫01e2xdx+t+e2(e-t一1) =e2+t+e2·e-t一e2=t+e2-t 则I’(t)=1一e2-t．令I’(t)=0，得到t=2． 而I’’(t)｜t=2=一e2-t｜t=2=一e2-2=1≥0，故当t=2时，I(t)取极小值，即最小值，其最小值为 I(t)｜t=2=(t+e2-t)｜t=2=3．
解析
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考研数学一

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