设(X,Y)~f(x,y)= (1)判断X,Y是否独立,说明理由; (2)判断X,Y是否不相关,说明理由; (3)求Z=X+Y的密度.

admin2018-01-23  23

问题 设(X,Y)~f(x,y)=
(1)判断X,Y是否独立,说明理由; (2)判断X,Y是否不相关,说明理由;
(3)求Z=X+Y的密度.

选项

答案(1)0<x<1时,fX(X)=∫-∞+∞f(x,y)dy=∫0x12y2dy=4x3,则 [*] 因为当0<y<x<1时,f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X,Y不独立. (2)E(X)=∫-∞+∞xfX(x)dx=∫014x4dx=[*], E(Y)=∫-∞+∞yfY(y)dy=∫0112y3(1-y)dy=[*] E(XY)=∫-∞+∞dx∫-∞+∞xyf(x,y)dy=∫01dx∫0x12xy3dy=[*], 因为Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=[*],所以X,Y相关. (3)fZ(z)=∫-∞+∞f(x,z-x)dx, 当z<0或z≥2时,fZ(z)=0; 当0≤z<1时,fZ(z)=[*]12(z-x)2dx=[*]; 当1≤z<2时,fZ(z)=[*]12(z-x)2dx=[*]-4(z-1)3. 所以有fZ(z)=[*]

解析
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