2. 考研
  3. 设(X,Y)～f(x,y)＝ (1)判断X，Y是否独立，说明理由； (2)判断X，Y是否不相关，说明理由； (3)求Z＝X＋Y的密度．

设(X,Y)～f(x,y)＝ (1)判断X，Y是否独立，说明理由； (2)判断X，Y是否不相关，说明理由； (3)求Z＝X＋Y的密度．

admin2018-01-23  25
问题 设(X,Y)～f(x,y)＝
(1)判断X，Y是否独立，说明理由； (2)判断X，Y是否不相关，说明理由；
(3)求Z＝X＋Y的密度．
选项
答案(1)0＜x＜1时，fX(X)＝∫－∞＋∞f(x，y)dy＝∫0x12y2dy＝4x3，则 [*] 因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立． (2)E(X)＝∫－∞＋∞xfX(x)dx＝∫014x4dx＝[*]， E(Y)＝∫－∞＋∞yfY(y)dy＝∫0112y3(1－y)dy＝[*] E(XY)＝∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞xyf(x,y)dy＝∫01dx∫0x12xy3dy＝[*]， 因为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝[*]，所以X，Y相关． (3)fZ(z)＝∫－∞＋∞f(x，z－x)dx， 当z＜0或z≥2时，fZ(z)＝0； 当0≤z＜1时，fZ(z)＝[*]12(z－x)2dx＝[*]； 当1≤z＜2时，fZ(z)＝[*]12(z－x)2dx＝[*]－4(z－1)3． 所以有fZ(z)＝[*]
解析
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考研数学三

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