设(X,Y)～f(x,y)＝ (1)判断X，Y是否独立，说明理由； (2)判断X，Y是否不相关，说明理由； (3)求Z＝X＋Y的密度．

admin2018-01-23 45

问题设(X,Y)～f(x,y)＝

(1)判断X，Y是否独立，说明理由； (2)判断X，Y是否不相关，说明理由；
(3)求Z＝X＋Y的密度．

选项

答案(1)0＜x＜1时，f_X(X)＝∫_－∞^＋∞f(x，y)dy＝∫₀^x12y²dy＝4x³，则 [*] 因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠f_X(x)f_Y(y)，所以X，Y不独立． (2)E(X)＝∫_－∞^＋∞xf_X(x)dx＝∫₀¹4x⁴dx＝[*]， E(Y)＝∫_－∞^＋∞yf_Y(y)dy＝∫₀¹12y³(1－y)dy＝[*] E(XY)＝∫_－∞^＋∞dx∫_－∞^＋∞xyf(x,y)dy＝∫₀¹dx∫₀^x12xy³dy＝[*]，因为Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝[*]，所以X，Y相关． (3)f_Z(z)＝∫_－∞^＋∞f(x，z－x)dx，当z＜0或z≥2时，f_Z(z)＝0；当0≤z＜1时，f_Z(z)＝[*]12(z－x)²dx＝[*]；当1≤z＜2时，f_Z(z)＝[*]12(z－x)²dx＝[*]－4(z－1)³．所以有f_Z(z)＝[*]

解析

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考研数学三

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