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设曲线积分I=∮L2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy=0.其中L为平面上任一闭曲线,函数f(y)与g(y)二阶可导,且f(0)=-1,g(0)=1.试求函数f(y)与g(y),并选择任意一条路径计算从点(0,0)到
设曲线积分I=∮L2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy=0.其中L为平面上任一闭曲线,函数f(y)与g(y)二阶可导,且f(0)=-1,g(0)=1.试求函数f(y)与g(y),并选择任意一条路径计算从点(0,0)到
admin
2022-07-21
23
问题
设曲线积分I=∮
L
2[xf(y)+g(y)]dx+[x
2
g(y)+2xy
2
-2xf(y)]dy=0.其中L为平面上任一闭曲线,函数f(y)与g(y)二阶可导,且f(0)=-1,g(0)=1.试求函数f(y)与g(y),并选择任意一条路径计算从点(0,0)到点(π,π/2)的积分值.
选项
答案
平面上任一闭曲线的曲线积分为零,故积分与路径无关,故 [*][2xf(y)+2g(y)]=[*][x
2
g(y)+2xy
2
-2xf(y)] 即2xf’(y)+2g’(y)=2xg(y)+2y
2
-2f(y),故必须有[*] 再次对上式求导,得 f’’(y)=g’(y)=y
2
-f(y) 解二阶常系数线性微分方程,得f(y)=C
1
cosy+C
2
siny+y
2
-2.又f(0)=-1,g(0)=1,得到C
1
=0,C
2
=1,从而f(y)=siny+y
2
-2,g(y)=cosy+2y. 选取从点(0,0)到点(π,0),再从点(π,0)到点(π,π/2)的折线y=0及x=π进行积分,所以 I=∫
(0,0)
(π,π/2)
2[xf(y)+g(y)]dx+[x
2
g(y)+2xy
2
-2xf(y)]dy =∫
0
π
2[xf(0)+g(0)]dx+∫
0
π/2
[π
2
g(y)+2πy
2
-2πf(y)]dy=π
2
+[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZFf4777K
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考研数学二
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