2. 考研
  3. 设曲线积分I=∮L2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy=0．其中L为平面上任一闭曲线，函数f(y)与g(y)二阶可导，且f(0)=-1，g(0)=1．试求函数f(y)与g(y)，并选择任意一条路径计算从点(0，0)到

设曲线积分I=∮L2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy=0．其中L为平面上任一闭曲线，函数f(y)与g(y)二阶可导，且f(0)=-1，g(0)=1．试求函数f(y)与g(y)，并选择任意一条路径计算从点(0，0)到

admin2022-07-21  59
问题 设曲线积分I=∮L2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy=0．其中L为平面上任一闭曲线，函数f(y)与g(y)二阶可导，且f(0)=-1，g(0)=1．试求函数f(y)与g(y)，并选择任意一条路径计算从点(0，0)到点(π，π/2)的积分值．
选项
答案平面上任一闭曲线的曲线积分为零，故积分与路径无关，故 [*][2xf(y)+2g(y)]=[*][x2g(y)+2xy2-2xf(y)] 即2xf’(y)+2g’(y)=2xg(y)+2y2-2f(y)，故必须有[*] 再次对上式求导，得 f’’(y)=g’(y)=y2-f(y) 解二阶常系数线性微分方程，得f(y)=C1cosy+C2siny+y2-2．又f(0)=-1，g(0)=1，得到C1=0，C2=1，从而f(y)=siny+y2-2，g(y)=cosy+2y． 选取从点(0，0)到点(π，0)，再从点(π，0)到点(π，π/2)的折线y=0及x=π进行积分，所以 I=∫(0，0)(π，π/2)2[xf(y)+g(y)]dx+[x2g(y)+2xy2-2xf(y)]dy =∫0π2[xf(0)+g(0)]dx+∫0π/2[π2g(y)+2πy2-2πf(y)]dy=π2+[*]
解析
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考研数学二

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