2. 考研
  3. 设α1，α2，α3，α4是三维非零向量． (1)如果r(α1，α2，α3)=3，则α4可由α1，α2，α3线性表出． (2)如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关． (3)如果α4不能由α1，α2，α3线

设α1，α2，α3，α4是三维非零向量． (1)如果r(α1，α2，α3)=3，则α4可由α1，α2，α3线性表出． (2)如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关． (3)如果α4不能由α1，α2，α3线

admin2016-03-01  43
问题 设α1，α2，α3，α4是三维非零向量．
    (1)如果r(α1，α2，α3)=3，则α4可由α1，α2，α3线性表出．
    (2)如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．
    (3)如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则2≤r(α1，α2，α3，α4)≤3．
    (4)如果r(α1+α2，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，则α4可由α1，α2，α3线性表出．
    上述命题中，正确命题的个数为[    ]个．
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案D
解析 因α1，α2，α3，α4是三维向量，所以有r(α1，α2，α3)≤3，r(α1，α2，α3，α4)≤3．
    对于(1)，因r(α1，α2，α3)=3，则α1，α2，α3线性无关．又α1，α2，α3，α4必线性相关，因此α4可由α1，α2，α3，线性表出．
    对于(2)，由(1)可知如果α1，α2，α3线性无关，则α4可由α1，α2，α3线性表出，所以当α4不能由α1，α2，α3线性表出时，α1，α2，α3必线性相关．
对于(3)，因α1，α2，α3，α4是非零向量，而α4又不能由α1，α2，α3线性表出，所以r(α4，αI)一2(i=1，2，3)，从而r(α1，α2，α3，α4)≥2，于是有2≤r(α1，α2，α3，α4)≤3．
    对于(4)，因矩阵经过初等变换后不改变其秩，所以有r(α1+α2，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，因而有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，这表明非齐次方程组α1x1+α2x1+α3x1=α4有解，从而α4可由α1，α2，α3，α4线性表出．
    命题(1)，(2)，(3)，(4)都是正确的．
    故选(D)．
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