设函数y= y（x）由方程ylny —x +y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。

admin2017-12-29 62

问题设函数y= y（x）由方程ylny —x +y=0确定，试判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性。

选项

答案要判断曲线y=y（x）在点（1，1）附近的凹凸性，只需判断y"（x）在点（1，1）附近的正负。在方程ylny —x +y=0两边对x求导得 y’lny+y’—1+y’=0，上式两边对x求导得 y"lny+[*]（y’）²+2y"=0，解得y"=[*]显然（y’）²≥0，在点（1，1）附近，可选择一个合适的范围，如y＞e^—2，使得y（2+lny）＞0，则在点（1，1）附近有y"≤0，所以曲线y=y（x）在点（1，1）附近是凸的。

解析

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考研数学三

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已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
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0由于x4sinx为奇函数，且积分区间[一π，π]关于原点对称
[*]事实上，在几何上原题中积分应等于球体x2+y2+z2≤a2的体积的一半，因此应为
[*]本题常规的求解方法是先把根号里面配方，再用三角代换，但计算量较大，实际上，本题根据定积分几何意义立刻知道应填，事实上，该积分在几何上表示单位圆(x一1)2+y2≤1面积的，如图1．1．
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