2. 考研
  3. (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．

(1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B． (2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．

admin2017-12-31  27
问题 (1)设A，B为n阶矩阵，｜λE－A｜＝｜λE－B｜且A，B都可相似对角化，证明：A～B．
(2)设矩阵A，B是否相似?若A，B相似，求可逆矩阵P，使得P－1AP＝B．
选项
答案(1)因为｜λE－A｜＝｜λE－B｜，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn， 因为A，B可相似对角化，所以存在可逆矩阵P1，Pλ2，使得 [*] 由P1－1AP1＝P2－1BP2得(P1P2)－1A(P1P2－1)＝B， 取P1P2－1＝B，则P－1AP＝B，即A～B． (2)由｜λE－A｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－2)＝0得 A的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝1； 由｜λE－B｜＝[*]＝(λ－1)2(λ－2)＝0得 B的特征值为λ1＝2，λ2＝λ3＝1； 由E－A＝[*]得r(E－A)＝1，即A可相似对角化； 再由E－B＝[*]得r(E－B)＝1，即B可相似对角化， 故A～B． [*] 再令P＝P1P2－1＝[*]，则P－1AP＝B．
解析
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考研数学三

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