设α1，α2，β1，β2为三维列向量组，且α1，α2与β1，β2都线性无关．证明：至少存在一个非零向量可同时由α1，α2和β1，β2线性表示；

admin2016-10-24 62

问题设α₁，α₂，β₁，β₂为三维列向量组，且α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关．证明：
至少存在一个非零向量可同时由α₁，α₂和β₁，β₂线性表示；

选项

答案因为α₁，α₂，β₁，β₂线性相关，所以存在不全为零的常数k₁，k₂，l₁，l₂，使得k₁α₁+k₂α₂+l₁β₁+k₂β₂=0，或k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁一l₂β₂．令γ=k₁α₁+k₂α₂=一l₁β₁一l₂β₂，因为α₁，α₂与β₁，β₂都线性无关，所以k₁，k₂及l₁，l₂都不全为零，所以y≠0．

解析

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考研数学三

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设向量组α1，α2，…，αs线性无关，作线性组合β1=α1+μ1αs，β2=α2+μ2αs，…，βs-1=αs-1+μs-1αs，则向量组β1，β2，…，βs-1线性无关，其中s≥2，μi为任意实数．
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