设k＞0．试问k为何值时，方程arctanx-kx=0存在正实根．

admin2022-11-23 25

问题设k＞0．试问k为何值时，方程arctanx-kx=0存在正实根．

选项

答案令f(x)=arctanx-kx，其中k＞0．则f’(x)=[*]-k，f(0)=0．若方程arctanx-kx=0存在正实根x₀，由罗尔中值定，则存在ξ∈(0，x₀)，使得f’(ξ)=0， [*] 所以存在h₂＞h₁，使得f(h₂)＜0．在区间[h₁，h₂]上应用连续函数的根的存在性定理可得，存在η∈(h₁，h₂)，使得f(η)=0，即方程arctanx-kx=0有正实根η．综上所述，原方程存在正实根，当且仅当0＜k＜1．

解析

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