设曲线积分∫Lxy2dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数且φ(0)=0，计算∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy的值．

admin2022-07-21 63

问题设曲线积分∫_Lxy²dx+yφ(x)dy与路径无关，其中φ(x)具有连续的导数且φ(0)=0，计算∫_(0，0)^(1，1)xy²dx+yφ(x)dy的值．

选项

答案记P(x，y)=xy²，Q(x，y)=yφ(x)，与曲线积分与路径无关，故有 [*]或yφ’(x)=2xy 于是φ(x)=x²+C，又φ(0)=0，故φ(x)=x²．因曲线积分与路径无关，故沿直线y=x从点(0，0)到点(1，1)，得 ∫_(0，0)^(1，1)xy²dx+yφ(x)dy=∫₀¹(x·x²+x·x²)dx=1/2

解析

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