设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明: 存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξ(ξ).

admin2018-04-15  52

问题 设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,证明:
存在ξ∈(a,b),使得f’(ξ)=2ξ(ξ).

选项

答案令φ(x)=e-x2f(x),因为f(a)=f(b)=0,所以φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0, 而φ′(x)=e-x2[f′(x)一2xf(x)]且e-x2≠0,故f′(ξ)=2ξ(ξ).

解析
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