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设A是n阶矩阵,A的第i行第j列元素aij=i.j(i,j=1,2,…,n).B是n阶矩阵,B的第i行第j列元素bij=i2(i=1,2,…,n). 证明:A相似于B.
设A是n阶矩阵,A的第i行第j列元素aij=i.j(i,j=1,2,…,n).B是n阶矩阵,B的第i行第j列元素bij=i2(i=1,2,…,n). 证明:A相似于B.
admin
2016-05-03
45
问题
设A是n阶矩阵,A的第i行第j列元素a
ij
=i.j(i,j=1,2,…,n).B是n阶矩阵,B的第i行第j列元素b
ij
=i
2
(i=1,2,…,n).
证明:A相似于B.
选项
答案
由题设条件知 [*] B各行元素成比例r(B)=1,μ=0是B的n一1重特征值,B的非零特征值为μ
n
=[*] B对应于μ=0有n一1个线性无关特征向量,故知存在可逆矩阵P,使得 [*] 故B~A.由相似关系的传递性,得证A~A~B,A~B.
解析
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考研数学三
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