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设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．
设向量β可由向量组α1，α2，…，αn线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αn线性无关．
admin
2018-07-27
44
问题
设向量β可由向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性表示，证明：表示唯一的充分必要条件是向量组α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．
选项
答案
由条件有k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n
α
n
=β…①．必要性．设表示唯一，若λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
n
α
n
=0…②，①与②两端分别相加，得 (k
1
+λ
1
)α
1
+(k
2
+λ
2
)α
2
+…+(k
n
+λ
n
)α
n
=β…③，由表示唯一，比较①与③，得k
j
=k
j
+λ
j
(j=1，2，…，n)[*]λ
j
=0(j=1，2，…，n)，[*]α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关．充分性：设α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，若还有s
1
α
1
+s
2
α
2
+…+s
n
α
n
=β…④，①－④，得(k
1
－s
1
)α
1
+(k
2
－s
2
)α
2
+…+(k
n
－s
n
)α
n
=0，由α
1
，α
2
，…，α
n
线性无关，得k
j
=s
j
(j=1，2，…，n)，即④式必为①式，故表示唯一．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZXW4777K
0
考研数学三
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