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设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( )。
设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( )。
admin
2021-11-25
61
问题
设A是n阶矩阵,下列命题错误的是( )。
选项
A、若A
2
=E,则-1一定是矩阵A的特征值
B、若r(E+A)<n,则-1一定是矩阵A的特征值
C、若矩阵A的各行元素之和为-1,则-1一定是矩阵A的特征
D、若A是正交矩阵,且A的特征值之积小于零,则-1一定是A的特征值
答案
A
解析
若r(E+A)<n,则|E+A|=0,于是-1为A的特征值,
若A的每行元素之和为-1,则
,根据特征值特征向量的定义,-1为A的特征值,若A是正交矩阵,则A
T
A=E,令AX=λx(其中X≠0),则X
T
A
T
=λX
T
,于是X
T
A
T
AX=λ
2
X
T
X,即(λ
2
-1)X
T
X=0,而X
T
X>0,故λ
2
=1,再由特征值之积为负,得-1为A的特征值,选A。
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考研数学二
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