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证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．
证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．
admin
2017-10-21
37
问题
证明｜xE—A｜的4个根之和等于a
11
+a
22
+a
33
+a
44
．
选项
答案
设4个根为x
1
，x
2
，x
3
，x
4
．因为｜xE—A｜是x的4次多项式，并且x
4
的系数为1，所以｜xE—A｜=(x一x
1
)(x一x
1
)(x一x
3
)(x一x
4
)．
解析
由例1．1的方法的启示，考察x
3
的系数．从右侧看为一(x
1
+x
2
+x
3
+x
4
)；再从左侧看，因为｜xE—A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x一a
11
)(x一a
22
)(x一a
33
)(x一a
44
)这一项包含x
3
，并且系数为一(a
11
+a
22
+a
33
+a
44
)．于是x
1
+x
2
+x
3
+x
4
=a
11
+a
22
+a
33
+a
44
.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZdH4777K
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考研数学三
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