证明｜xE—A｜的4个根之和等于a11+a22+a33+a44．

admin2017-10-21 14

问题

证明｜xE—A｜的4个根之和等于a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄．

选项

答案设4个根为x₁，x₂，x₃，x₄．因为｜xE—A｜是x的4次多项式，并且x⁴的系数为1，所以｜xE—A｜=(x一x₁)(x一x₁)(x一x₃)(x一x₄)．

解析由例1．1的方法的启示，考察x³的系数．从右侧看为一(x₁+x₂+x₃+x₄)；再从左侧看，因为｜xE—A｜对角线外的元素都是不含x的常数，所以在其展开式的24项中，只有对角线元素的乘积(x一a₁₁)(x一a₂₂)(x一a₃₃)(x一a₄₄)这一项包含x³，并且系数为一(a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄)．于是x₁+x₂+x₃+x₄=a₁₁+a₂₂+a₃₃+a₄₄.

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