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  3. 设二二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。 求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

设二二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。 求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。

admin2019-01-13  32
问题 设二二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。
求正交矩阵P，作变换x=Py将二次型化为标准形。
选项
答案矩阵A的特征多项式为 ｜λE—A｜=[*]=(λ一1)(λ一3)(λ一7)， 矩阵A的特征值为λi=1，λ2=3，λ3=7。 由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=3，λ3=7对应的特征向量分别为 α1=(一1，1，1)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，一1，2)T， 由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将α1，α2，α3单位化，即 [*] 则正交变换矩阵 P=(γ1，γ2，γ3)=[*] 且二次型xTAx在正交变换x=Py下的标准形为f=y12+3y22+7y22。
解析
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考研数学二

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