设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则( )

admin2019-01-14 48

问题设α₁，α₂，…，α_n-1是Rⁿ中线性无关的向量组，β₁，β₂与α₁，α₂，…，α_n-1正交，则( )

选项 A、α₁，α₂，…，α_n-1，β₁必线性相关。
B、α₁，α₂，…，α_n-1，β₁，β₂必线性无关。
C、β₁，β₂必线性相关。
D、β₁，β₂必线性无关。

答案C

解析由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错；
若α_i(i=1，2，…，n-1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β₁是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β₂是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α₁，α₂，…，α_n-1，β₁线性无关，β₂=2β₁，所以选项A和D错误；故选C。
下证C选项正确：
因α₁，α₂，…，α_n-1，β₁，β₂必线性相关，所以存在n+1个不全为零的常数k₁，k₂，…，k_n-1，l₁，l₂，
使
k₁α₁+k₂α₂+…+k_n-1α_n-1+l₁β₁+l₂β₂=0，
又因为α₁，α₂，…，α_n-1线性无关，所以l₁，l₂一定不全为零，否则α₁，α₂，…，α_n-1线性相关，产生矛盾。
在上式两端分别与β₁，β₂作内积，有
(l₁β₁+l₂β₂，β₁)=0， ①
(l₁β₁+l₂β₂，β₂)=0， ②
联立两式，l₁×①+l₂×②可得
(l₁β₁+l₂β₂，l₁β₁+l₂β₂)=0，
从而可得 l₁β₁+l₂β₂=0，
故β₁，β₂必线性相关。

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考研数学一

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