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  3. 设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则( )

设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则( )

admin2019-01-14  25
问题 设α1，α2，…，αn-1是Rn中线性无关的向量组，β1，β2与α1，α2，…，αn-1正交，则(    )
选项 A、α1，α2，…，αn-1，β1必线性相关。
B、α1，α2，…，αn-1，β1，β2必线性无关。
C、β1，β2必线性相关。
D、β1，β2必线性无关。
答案C
解析 由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错；
    若αi(i=1，2，…，n-1)是第i个分量为1，其余分量全为0的向量，β1是第n个分量为1，其余分量全为0的向量，β2是第n个分量为2，其余分量全为0的向量，则α1，α2，…，αn-1，β1线性无关，β2=2β1，所以选项A和D错误；故选C。
  下证C选项正确：
  因α1，α2，…，αn-1，β1，β2必线性相关，所以存在n+1个不全为零的常数k1，k2，…，kn-1，l1，l2，
使
    k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+l1β1+l2β2=0，
又因为α1，α2，…，αn-1线性无关，所以l1，l2一定不全为零，否则α1，α2，…，αn-1线性相关，产生矛盾。
    在上式两端分别与β1，β2作内积，有
    (l1β1+l2β2，β1)=0，    ①
    (l1β1+l2β2，β2)=0，    ②
联立两式，l1×①+l2×②可得
    (l1β1+l2β2，l1β1+l2β2)=0，
从而可得    l1β1+l2β2=0，
故β1，β2必线性相关。
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