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设α1,α2,…,αn-1是Rn中线性无关的向量组,β1,β2与α1,α2,…,αn-1正交,则( )
设α1,α2,…,αn-1是Rn中线性无关的向量组,β1,β2与α1,α2,…,αn-1正交,则( )
admin
2019-01-14
32
问题
设α
1
,α
2
,…,α
n-1
是R
n
中线性无关的向量组,β
1
,β
2
与α
1
,α
2
,…,α
n-1
正交,则( )
选项
A、α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
必线性相关。
B、α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
,β
2
必线性无关。
C、β
1
,β
2
必线性相关。
D、β
1
,β
2
必线性无关。
答案
C
解析
由n+1个n维向量必线性相关可知B选项错;
若α
i
(i=1,2,…,n-1)是第i个分量为1,其余分量全为0的向量,β
1
是第n个分量为1,其余分量全为0的向量,β
2
是第n个分量为2,其余分量全为0的向量,则α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
线性无关,β
2
=2β
1
,所以选项A和D错误;故选C。
下证C选项正确:
因α
1
,α
2
,…,α
n-1
,β
1
,β
2
必线性相关,所以存在n+1个不全为零的常数k
1
,k
2
,…,k
n-1
,l
1
,l
2
,
使
k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
n-1
α
n-1
+l
1
β
1
+l
2
β
2
=0,
又因为α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性无关,所以l
1
,l
2
一定不全为零,否则α
1
,α
2
,…,α
n-1
线性相关,产生矛盾。
在上式两端分别与β
1
,β
2
作内积,有
(l
1
β
1
+l
2
β
2
,β
1
)=0, ①
(l
1
β
1
+l
2
β
2
,β
2
)=0, ②
联立两式,l
1
×①+l
2
×②可得
(l
1
β
1
+l
2
β
2
,l
1
β
1
+l
2
β
2
)=0,
从而可得 l
1
β
1
+l
2
β
2
=0,
故β
1
,β
2
必线性相关。
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考研数学一
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