设A是n阶非零矩阵，Am＝0，下列命题中不一定正确的是

admin2017-08-18 52

问题设A是n阶非零矩阵，A^m＝0，下列命题中不一定正确的是

选项 A、A的特征值只有零
B、A必不能对角化
C、E＋A＋A²＋…＋A^m－1必可逆
D、A只有一个线性无关的特征向量

答案D

解析设Aα＝λα，α≠0，则A^mα＝λ^mα＝0．故λ＝0．(A)正确．
因为A≠0，r(A)≥1，那么Ax＝0的基础解系有n—r(A)个解，即A＝0有n—r(A)个线性无关的特征向量．故(B)正确，而(D)不一定正确．
由(E—A)(E＋A＋A²＋…＋A^m－1)＝E—A^m＝E，知(C)正确．
故应选(D)．

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