2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则行行列式｜ A2+E｜=______；r(A+E)=______；r(A*)=______．

设A是三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则行行列式｜ A2+E｜=______；r(A+E)=______；r(A*)=______．

admin2017-06-14  65
问题 设A是三阶矩阵，α，β是线性无关的三维列向量，满足｜A｜=0，Aα=β，Aβ=α，则行行列式｜ A2+E｜=______；r(A+E)=______；r(A*)=______．
选项
答案应填4；2；1．
解析 由题设条件｜A｜=0知A有特征值λ1=0．又由Aα=β，Aβ=α有
    A(α+β)=Aα+Aβ=β+α=1．(α+β)，
    A(α—β)=Aα－Aβ=β—α=－1．(α－β)
可见A有特征值：λ2=1，λ3=－1．
故A相似于

从而

因为r(A)=2，故r(A*)=1．
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考研数学一

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