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设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D由y=|x|与y=1所围成. (Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y是否独立; (Ⅱ)设Z=X+Y,求fz(z); (Ⅲ)求ρxz.
设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D由y=|x|与y=1所围成. (Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y是否独立; (Ⅱ)设Z=X+Y,求fz(z); (Ⅲ)求ρxz.
admin
2022-12-09
44
问题
设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中D由y=|x|与y=1所围成.
(Ⅰ)求X,Y的边缘密度函数,并判断X,Y是否独立;
(Ⅱ)设Z=X+Y,求f
z
(z);
(Ⅲ)求ρ
xz
.
选项
答案
(Ⅰ)(X,Y)的联合密度函数为 [*] X的边缘密度函数为f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy, 当x≤-1或x≥1时,f
X
(x)=0; 当-1<x≤0时,f
X
(x)=∫
-x
1
dy=1+x; 当0<x<1时,f
X
(x)=∫
x
1
dy=1-x, [*] (Ⅲ)E(X)=0,E(X
2
)=∫
-1
1
x
2
(1-|x|)dx=2∫
0
1
(x
2
-x
3
)dx=1/6,D(X)=1/6, E(Z)=∫
0
2
z(1-z/2)dz=∫
0
2
(z-z
2
/2)dz=2/3, E(Z
2
)=∫
0
2
z
2
(1-z/2)dz=
0
2
(z
2
-z
3
/2)dz=2/3,则D(Z)=E(Z
2
)-[E(Z)
2
]=2/9, 由E(XZ)=E[X(X+Y)]=E(X
2
)+E(XY)=1/6+E(XY), [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZkgD777K
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考研数学三
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