2. 公务员
  3. 如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面上－点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”． 求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1－C2型点”．

如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面上－点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”． 求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1－C2型点”．

admin2019-06-01  96
问题 如图，已知曲线C1：－y2=1，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面上－点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1－C2型点”．

求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1－C2型点”．
选项
答案显然过圆x2+y2=[*]内－点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在；根据对称性，不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t，t+1)(t≥0)，则l：y=(t+1)=k(x－t)→kx—y+(1+t－kt)=0直线l与圆x2+y2=[*]内部有交点，故[*]，化简得，(1+t－tk)2＜[*]－(k2+1)① 若直线l与曲线C1有交点，则[*]x2+2k(1+t—kt)x+(1+t－kt)2+l=0． △=4k2(1+t—kt)2－4(k2－[*])[(1+t－kt)2+1]≥0≥(1+t－kt)2≥2(k2－1)， 化简得，(1+t－kt)2≥2(k2－1)②． 由①②得，2(k2－1)≤(1+t－tk)2＜[*](k2+1)→k2＜1． 但此时，因为t≥0，[1+t(1－k)]2≥1，[*](k2+1)＜1，即①式不成立； 当k2=[*]时，①式也不成立，综上，直线l若与圆x2+y2=[*]内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，即圆x2+y2=[*]内的点都不是“C1－C2型点”．
解析
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