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  3. 设f为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根．

设f为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根．

admin2022-11-23  18
问题 设f为n阶可导函数，若方程f(x)=0有n+1个相异的实根，则方程f(n)(x)=0至少有一个实根．
选项
答案设方程f(x)=0的n+1个相异的实根为x1，x2，…，xn+1，且x1＜x2＜…＜xn+1．对f(x)在区间[xk,xk+1](k=1，2，…，n)上应用罗尔中值定理知,存在ξ1k∈(xk，xk+1)，使得f’(ξ1k)=0(k=1，2，…，n)，即f’(x)=0至少有n个相异实根． 再对f’(x)在n-1个区间[ξ1k，ξ1，k+1](k=1，2，…，n-1)上应用罗尔中值定理知，存在ξ2k∈(ξ1k，ξ1，k+1)，使得f”(ξ2k)=0(k=1，2，…，n-1)，即f”(x)=0至少有n-1个相异实根．如此继续下去可得，f”’(x)=0至少有n-2个相异实根，…，f(n)(x)=0至少有一个实根．
解析
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考研数学一

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