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设f(x)∈c[a,6],在(a,b)内二阶可导 (Ⅰ)若fA=0,fB<0,f’+A>0.证明:存在ζ∈(a,6),使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0; (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f”
设f(x)∈c[a,6],在(a,b)内二阶可导 (Ⅰ)若fA=0,fB<0,f’+A>0.证明:存在ζ∈(a,6),使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0; (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f”
admin
2021-01-28
102
问题
设f(x)∈c[a,6],在(a,b)内二阶可导
(Ⅰ)若fA=0,fB<0,f’
+
A>0.证明:存在ζ∈(a,6),使得f(ζ)f"(ζ)+f’
2
(
n
)=0;
(Ⅱ)若fA=fB=∫
a
b
f(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f”(η)=f(η)。
选项
答案
(Ⅰ)因为f’
+
A>0,所以存在c∈(a,6),使得fC>fA=0,因为fCfB<0, 所以存在x
0
∈(c,b),使得f(x
0
)=0;因为fA=f(x
0
)=0,由罗尔定理,存在x
i
∈(a,x
0
),使得f’(x
1
)=0。 令φ(x)=f(x)f’(x),由φA=φ(x
1
)=0,根据罗尔定理,存在ζ∈(a,x
1
)∈(a,b),使得φ’(ζ)=0.而φ’(x)=f(x)f”(x)+f’
2
(x),所以f(ζ)f”(ζ)+f’
2
(x)=0。 (Ⅱ)令F(x)=∫
0
x
f(t)dt,因为FA=FB=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得 F’C=0,即fC=0。 令h(x)=e
x
f(x),由hA=hC=hB=0,根据罗尔定理,存在ζ
1
∈(a,c),ζ
2
∈(c,b), 使得h’(ζ
1
)=h’(ζ
2
)=0,则h’(x)=e
x
[f(x)+f’(x)],所以f(ζ
1
)+f’(ζ
1
)=0,f(ζ
2
)+f’(ζ
2
)。 再令G(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)],由G(ζ
1
)=G(ζ
2
)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ζ
1
,ζ
2
)。 ∈(a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e
-x
[f"(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以f"(η)=f(η)。
解析
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考研数学三
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