设f(x)∈c[a,6],在(a,b)内二阶可导 (Ⅰ)若fA=0,fB<0,f’+A>0.证明:存在ζ∈(a,6),使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0; (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f”

admin2021-01-28  51

问题 设f(x)∈c[a,6],在(a,b)内二阶可导
    (Ⅰ)若fA=0,fB<0,f’+A>0.证明:存在ζ∈(a,6),使得f(ζ)f"(ζ)+f’2(n)=0;
    (Ⅱ)若fA=fB=∫abf(x)dx=0,证明:存在η∈(a,b),使得f”(η)=f(η)。

选项

答案(Ⅰ)因为f’+A>0,所以存在c∈(a,6),使得fC>fA=0,因为fCfB<0, 所以存在x0∈(c,b),使得f(x0)=0;因为fA=f(x0)=0,由罗尔定理,存在xi∈(a,x0),使得f’(x1)=0。 令φ(x)=f(x)f’(x),由φA=φ(x1)=0,根据罗尔定理,存在ζ∈(a,x1)∈(a,b),使得φ’(ζ)=0.而φ’(x)=f(x)f”(x)+f’2(x),所以f(ζ)f”(ζ)+f’2(x)=0。 (Ⅱ)令F(x)=∫0xf(t)dt,因为FA=FB=0,所以由罗尔定理,存在c∈(a,b),使得 F’C=0,即fC=0。 令h(x)=exf(x),由hA=hC=hB=0,根据罗尔定理,存在ζ1∈(a,c),ζ2∈(c,b), 使得h’(ζ1)=h’(ζ2)=0,则h’(x)=ex[f(x)+f’(x)],所以f(ζ1)+f’(ζ1)=0,f(ζ2)+f’(ζ2)。 再令G(x)=e-x[f(x)+f’(x)],由G(ζ1)=G(ζ2)=0,根据罗尔定理,存在η∈(ζ1,ζ2)。 ∈(a,b),使得G’(η)=0,而G’(x)=e-x[f"(x)-f(x)]且e-x≠0,所以f"(η)=f(η)。

解析
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